下面是小编为大家整理的a2是两个2维向量,供大家参考。
题解
线代
(4) 设 1 , 2 是两个 2 维向量， A A =(2 1 + 2 , 1 - 2 )， B B =( 1 , 2 ).已知| A |=6,则| B B |=(
). 解:可以用行列式的性质解,但是用新东方辅导班上介绍的“矩真分解法”来做更加简单: A A =(2 1 + 2 , 1 - 2 )=( 1 , 2 ) 2
1
=
B B
2
1
, 1
-1
1
-1 两边取行列式,得
6=-3| B B |,| B B |=-2. (5) 设 A A =
2
1
,2 阶矩阵 B B
满足 B BA A = B B
+2 E E ,则 B B =
.
-1
2 解:由 B BA A = B B
+2 E E 化得 B B ( A A - E E )=2 E E ,于是 B B =2( A A - E E )-1 =| A A - E E |( A A - E E )-1
(| A A - E E |=2)
=( A A - E E )*= 1 -1
.
1
1 (12)设 A A 是 3 阶矩阵,将 A A 的第 2 列加到第 1 列上得 B B ,将 B B 的第 1 列的-1 倍加到第 2列上得 C C .记
1
1
0
P P =
0
1
0
,则
0
0
1 (A)
C C = P P-1 AP .
(B)
C C = PAP-1 .
(C)
C C = P PT AP .
(D)
C C = PAPT .
解: (B) 用初等矩阵在乘法中的作用得出 B B = PA
,
1 -1
0 C C = B
0
1
0 = B BP P-1 =
PAP-1 .
0
0
1
(20) 设 1 =(1+a,1,1,1), 2 =(2,2+a,2,2), 3 =(3,3+a,3,3), 4 =(4,4,4,4+a).问 a 为什么数时 1 , 2 , 3 , 4 线性相关?在时 1 , 2 , 3 , 4 线性相关时求其一个极大线性无关组,并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出. 解: 1 , 2 , 3 , 4 线性相关,即行列式| 1 , 2 , 3 , 4 |=0,而| 1 , 2 , 3 , 4 |=a3 (a+10),于是当 a=0 或-10 时 1 , 2 , 3 , 4 线性相关. a=0 时, 1 是 1 , 2 , 3 , 4 的极大无关组, 2 =2 1 , 3 =3 1 , 4 =4 1 .
a=-10 时,
-9
2
3
4
-10
0
0
10
1
0
0 -1
( 1 , 2 , 3 , 4 )=
1 -8
3
4
0 -10
0
10
0
1
0 -1
.
1
2 -7
4
0
0 -10 10
0
0
1 -1
1
2
3 –6
1
2
3 -6
0
0
0
0
则 1 , 2 , 3 是 1 , 2 , 3 , 4 的极大无关组, 4 =- 1 - 2 - 3 .
(21) 设 3 阶实对称矩阵 A A 的各行元素之和都为 3,向量 1 =(-1,2,-1)T , 2 =(0,-1,1)T 都
是齐次线性方程组 AX =0 的解. ① 求 A A 的特征值和特征向量. ② 求作正交矩阵 Q Q 和对角矩阵 ,使得
Q Q T A AQ Q = .
③ 求 A A 及[ A A -(3/2) E E ]6 . 解:① 条件说明 A A (1,1,1)T =(3,3,3) T ,即 0 =(1,1,1)T是 A A 的特征向量,特征值为 3.又 1 , 2 都是 AX =0 的解说明它们也都是 A A 的特征向量,特征值为 0.由于 1 , 2 线性无关, 特征值 0 的重数大于 1.于是 A A 的特征值为 3,0,0. 属于 3 的特征向量:c 0 , c0. 属于 0 的特征向量:c 1 1 +c 2 2 , c 1 ,c 2 不都为 0. ② 将 0 单位化,得 0 =(33,33,33)T . 对 1 , 2 作施密特正交化,的 1 =(0,-22,22)T , 2 =(-36,66,66)T . 作 Q Q =( 0 , 1 , 2 ),则 Q Q 是正交矩阵,并且
3
0
0
Q Q T A AQ Q = Q Q -1 A AQ Q =
0
0
0
.
0
0
0
③
1 -1
0
3
0
0
1
1
1
A A
1 -2 -1 = 3
0
0
,解此矩阵方程,得 A A = 1
1
1
.
1 -1
1
3
0
0
1
1
1
( A A -23E E )2 =
A A 2 -3 A A +49E E =49E E ,
( A A -23E E )6 =64729E E .
概率 （ （6）
）91 （ （13 ）C （ （14 ）A （ （22 ）
解：
（Ⅰ）
X 的边缘分布为 X -1 0 1 P a+0.2 b+0.3 c+0.1 2 . 0 ) 1 . 0 ( ) 2 . 0 ( ) ( c a X E
5 . 05 . 01 . 0} 0 {} 0 , 0 {} 0 / 0 { b ab aX PY X PX Y P
1 1 . 0 1 . 0 2 . 0 2 . 0 c b a
所以：
1 . 0 , 1 . 0 , 2 . 0 c b a
（Ⅱ）
Z -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 （Ⅲ）
2 . 0 1 . 0 1 . 0 0 } 0 { } { Y P Z X P
（ （23 ）
随机变量 X 的概率密度为 其他 , 02 0 ,410 1 ,21) ( xxx f X ，令2X Y ， ) , ( y x F 为二维随机变量）
（ Y X, 的分布函数。
（Ⅰ）求 Y 的概率密度；（Ⅱ）
) , cov( Y X ；（Ⅲ）
) 4 ,21( F
解：
（Ⅰ） yyyyy X P y Y P y F Y4 , 14 1 , ) 2 (1 0 , ) 1 (0 , 0) ( ) ( ) (2式式
yyy dx dx y X y P00434121) ( ) 1 ( 式 ；
yy dx dx y X y P00141214121) ( ) 2 ( 式 。
所以： 其他 , 04 1 ,811 0 ,83) ( ) ("yyyyy F y fY Y 这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对 y 进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型。
（Ⅱ）
) , cov( Y X
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 3X E X E X E Y E X E XY E
2001414121) ( dx x dx x X E ； 202012 2654121) ( dx x dx x X E ； 203013 3874121) ( dx x dx x X E
所以：
) , cov( Y X32654187 。
（Ⅲ）
) 4 ,21( F)212 ( ) 2 2 ,21( ) 4 ,21( ) 4 ,21(2 X P X X P X X P Y X P4121211 dx 。
（ （23 ）
设总体 X 的概率密度为 其他 , 02 1 , 11 0 ,) , ( xxx f ，其中 是未知参数（0< <1）。
nX X X , ,2 1为来自总体的简单随机样本，记 N 为样本值nx x x , ,2 1中小于 1 的个数。求：
（Ⅰ）
的矩估计；（Ⅱ）
的最大似然估计。
解：
（Ⅰ）
23) 1 ( ) (2110dx x dx x X E X ， 所以：
X 23矩 。
（Ⅱ）对样本nx x x , ,2 1按照<1 或者≥1 进行分类：pN p px x x , ,2 1<1，pn pN pNx x x , ,2 1 ≥1。
似然函数 其他，, 01 , , , 1 , , ) 1 () (2 1 2 1 pn pN pN pN p pN n Nx x x x x xL ， 在pN p px x x , ,2 1<1，pn pN pNx x x , ,2 1 ≥1 时，
) 1 ln( ) ( ln ) ( ln N n N L ， 01) ( ln N n NdL d，所以nN最大 。